Алгебра и геометрия *
(АГ)

 
 Для доступа к этому курсу необходимо знать кодовое слово
 
 

1.1. Цель преподавания дисциплины:

Преподавание курса "Геометрия и алгебра" имеет целью формирование у студентов правильных представлений об основных понятиях аналитической геометрии и алгебры: векторная алгебра, системы координат и их преобразования, прямые и плоскости, кривые и поверхности второго порядка и их аффинная эквивалентность, комплексные числа, многочлены, теория матриц и определителей, системы линейных алгебраических уравнений, линейные пространства, линейные операторы, квадратичные формы, основные алгебраические структуры(группы, кольца, поля, алгебры).

Является одним из базисных курсов математической подготовки и готовит их к восприятию понятий математического анализа, теории функций комплексного переменного, дифференциальных уравнений и других математических дисциплин.

1.2. Задачи изучения дисциплины:

Студент должен знать Понятия и операции векторной алгебры: равенство векторов, операции над векторами, линейная зависимость векторов, базис системы векторов.

Аффинные системы координат. Деление отрезка в данном отношении. Прямоугольные системы координат. Расстояния между точками. Углы между векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов. Ортонормированные базисы и реперы. Полярные, сферические, цилиндрические системы координат.

Преобразования аффинных координат. Ортогональные матрицы. Преобразования прямоугольных систем координат. Ориентация плоскости и пространства. Ориентированные площадь и объем параллелепипеда.

Различные виды уравнений прямой и плоскости. Виды и признаки взаимного расположения прямой и плоскости.

Расстояния от точки до прямой и плоскости. Углы между прямыми и плоскостями. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Приведение многочлена второго порядка к каноническому виду.

Виды кривых второго порядка. Виды поверхностей второго порядка: распадающихся, цилиндрических, конических, поверхностей вращения, эллипсоидов, гиперболоидов, параболоидов и их канонические уравнения.

Комплексные числа: аксиомы, операции, тригонометрическая форма корни из комплексных чисел. Многочлены: операции, деление с остатком, алгоритм Евклида, НОД и НОК, корни, схема Горнера, каноническое разложение, основная теорема алгебры, теорема Безу, формулы Виета, приводимость.

Теория матриц и определителей: умножение матриц, определитель и его свойства, ранг матрицы, определитель произведения матриц, обратная матрица.

Системы линейных алгебраических уравнений: метод Гаусса, правило Крамера, теорема Кронекера-Капелли, фундаментальная система решений.

Линейные пространства: аксиомы, линейные оболочки, базисы, разложения по базису и замена базиса, размерность, подпространства, пересечения и сумма подпространств, изоморфизм линейных пространств, евклидовы и унитарные пространства.

Линейные операторы: определение, ядро и образ линейного оператора, матрица ЛО и ее изменение при замене базиса, собственные значения и собственные векторы ЛО, канонический вид ЛО, Жорданова форма и построение Жорданова базиса ЛО, кольцо операторов, группа невырожденных операторов, обратный оператор.

Линейные функции на линейных пространствах: преобразования коэффициентов при замене базиса, сопряженное пространство, взаимный базис, сопряженный оператор.

Билинейные функции на линейных пространствах: матрица билинейной формы и ее преобразование при замене базиса, симметричные билинейные функции и формы, квадратичные формы, ранг и дискриминант квадратичной формы, приведение КФ к каноническому и нормальному виду, закон инерции КФ, положительно определенные КФ, критерий Сильвестра.

Основные алгебраические структуры (группы, кольца, поля, алгебры): определения, примеры, группы подстановок, изоморфизм групп, гомоморфизмы, числовые поля, расширения числовых полей, алгебры (полиномов, матриц, тензоров).

Студент должен понимать основные определения геометрии и алгебры, связь геометрических образов и аналитических выражений, демонстрируя это при решении задач. Разбираться в доказательствах основных теорем курса.

1.3. Взаимосвязь учебных дисциплин:

Понятия геометрии и алгебры пронизывают все фундаментальные общематематические курсы, являясь базисом, без привлечения которого немыслимо изложение любого математического курса. Методы геометрии и алгебры непосредственно и опосредованно проникли во многие разделы математики и математического естествознания: математическую экономику, математическую экологию, и приобрели универсальное значение.

Для доступа к этому курсу необходимо знать кодовое слово